Teorema de Gauss

En física y en análisis matemático, la ley de Gauss relaciona el flujo eléctrico a través de una superficie cerrada y la carga eléctrica encerrada por esta superficie. 

De esta misma forma, también relaciona la divergencia del campo eléctrico con la densidad de carga.

Flujo del campo eléctrico


Flujo eléctrico a través de una superficie elipsoidal

que es la forma integral de la ley de Gauss. La ley de Coulomb también puede deducirse a través de Ley de Gauss.

Forma diferencial e integral de la Ley de Gauss

Tomando la ley de Gauss en forma integral.

Interpretación

La ley de Gauss puede ser utilizada para demostrar que no existe campo eléctrico dentro de una jaula de Faraday.

La ley de Gauss es la equivalente electrostática a la ley de Ampère, que es una ley de magnetismo.

Ambas ecuaciones fueron posteriormente integradas en las ecuaciones de Maxwell.

Esta ley puede interpretarse, en electrostática, entendiendo el flujo como una medida del número de líneas de campo que atraviesan la superficie en cuestión.

Para una carga puntual este número es constante si la carga está contenida por la superficie y es nulo si está fuera (ya que hay el mismo número de líneas que entran como que salen).

Además, al ser la densidad de líneas proporcionales a la magnitud de la carga, resulta que este flujo es proporcional a la carga, si está encerrada, o nulo, si no lo está.

Cuando tenemos una distribución de cargas, por el principio de superposición, sólo tendremos que considerar las cargas interiores, resultando la ley de Gauss.

Sin embargo, aunque esta ley se deduce de la ley de Coulomb, es más general que ella, ya que se trata de una ley universal, válida en situaciones no electrostáticas en las que la ley de Coulomb no es aplicable.

Aplicaciones


Distribución lineal de carga

Sea una recta cargada a lo largo del eje z.

Tomemos como superficie cerrada un cilindro de radio r y altura h con su eje coincidente al eje z.

Expresando el campo en coordenadas cilindricas tenemos que debido a la simetría de reflexión respecto a un plano z=cte el campo no tiene componente en el eje z y la integración a las bases del cilindro no contribuye, de modo que aplicando la ley de Gauss :

Analogía Gravitacional